正弦定理和余弦定理:余弦定理去证正弦定理的问

 2021-07-07 23:30    77  

  为什么说用余弦定理”去证“正弦定理是犯了循环论证的错误正弦定理和余弦定理,“若余弦定理成立,则正弦定理成立”,不是已经假设余弦定理是成立的嘛当然可以用它去证正弦定理

不过当然前提你先要证明余弦定理是成立的 然后才能拿它去证正弦定理和余弦定理。
  

虽说拿余弦定理去证正弦定理比较烦但还是能证出的

余弦定理在此不证(显然它是成立)

那已知cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

则sinC=√[1-(cosA)^2]=

√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]/(2ab)

c/sinC=2abc/√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]

sinB=√[1-(cosA)^2]=

√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]/(2ac)

b/sinB=2abc/√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]

sinA=√[1-(cosA)^2]=

√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]/(2bc)

c/sinC=2abc/√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)]

所以有a/sinA=b/sinB=c/sinC

故若余弦定理成立正弦定理和余弦定理,则正弦定理成立

正弦定理、余弦定理是三角函数的“解三角形”部分的主要内容。从数学逻辑来看,二定理没有先后的逻辑关系,只不过教材上先讲正弦定理后讲余弦定理罢了。在初中,很多平面几何的证明题是以余弦定理为背景的。

“故若余弦定理成立,则正弦定理成立”这一命题仅仅是人为的编出来的一道普通的数学证明题罢了。原命题、逆命题都是对的。

谁知道正弦定理及其相关公式,谢谢了!急用!!!

一般在任一个三角形中,各边和它所对应角的正弦值的比相等--------

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, (a,b,c为三边,A,B,C为对应三角,R 为此三角形外接圆的半径)

在直角三角形ABC中,设角C=90度,则有sinA=a/c,sinB=b/c,a^2+b^2=c^2,sinc=1.

sinA^2+cosA^2=1,sinB^2+cosB^2=1

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, R 为三角形外接圆半径

高一数学(下)——正弦定理、余弦定理

在△ABC中,有一个角为60度,面积为10√3 cm^3,周长为20cm,求三角形的三条边的长。

设△ABC中,A=60, S=10√3cm^, a+b+c=20cm, 求a,b,c

解:S=(1/2)bcsinA--->bc=2S/sinA=20√3/(√3/2)=40

a^=b^+c^-2bccosA=(b+c)^-3bc=(20-a)^-120--->a=7

--->b+c=20-a=13

--->b,c是方程x^-13x+40=(x-5)(x-8)=0的两根---〉b,c=5,8

--->三角形的三条边的长分别为 7,5,8

设三角形中∠A=60°,角A、B、C所对的边分别为a、b、c

由题目可以知道:

bcsinA/2=10√3 即bc=40

a+b+c=20

a^2=b^2+c^2-2bc cosA

得a=7,b=8,c=5

所以三角形的三条边长分别为7,8,5.

利用面积公式,余弦定理,周长得到三个方程就能解了。

设三边为a,b.c,∠A=60`则

a^2=b^2+c^2-bc

(1/2)bcsin60`=10√3,bc=40

a+b+c=20

三边为5,7,8

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